الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{4}{x + 4} + \frac{2}{x + 5} = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)}$

خطوة 1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x + 4, x + 5, (x + 4) (x - 5)$

خطوة 1.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 1.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 1.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 1.5

عامل $x + 4$ هو $x + 4$ نفسها.

$(x + 4) = x + 4$

تحدث $(x + 4)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.6

عامل $x + 5$ هو $x + 5$ نفسها.

$(x + 5) = x + 5$

تحدث $(x + 5)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.7

عامل $x + 4$ هو $x + 4$ نفسها.

$(x + 4) = x + 4$

تحدث $(x + 4)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.8

عامل $x - 5$ هو $x - 5$ نفسها.

$(x - 5) = x - 5$

تحدث $(x - 5)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.9

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x + 4, x + 5, x + 4, x - 5$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(x + 4) (x + 5) (x - 5)$

خطوة 2

اضرب كل حد في $\frac{4}{x + 4} + \frac{2}{x + 5} = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)}$ في $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{4}{x + 4} + \frac{2}{x + 5} = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)}$ في $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{4}{x + 4} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أخرِج العامل $x + 4$ من $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{4}{x + 4} ((x + 4) ((x + 5) (x - 5))) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{x + 4} ((x + 4) ((x + 5) (x - 5))) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 ((x + 5) (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.2

وسّع $(x + 5) (x - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x (x - 5) + 5 (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cdot - 5$ و $5 x$ .

$4 (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.3.2

أضف $- 5 x$ و $5 x$ .

$4 (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.3.3

أضف $x \cdot x$ و $0$ .

$4 (x \cdot x + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.4.1

اضرب $x$ في $x$ .

$4 (x^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.4.2

اضرب $5$ في $- 5$ .

$4 (x^{2} - 25) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x^{2} + 4 \cdot - 25 + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.6

اضرب $4$ في $- 25$ .

$4 x^{2} - 100 + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.7.1

أخرِج العامل $x + 5$ من $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$4 x^{2} - 100 + \frac{2}{x + 5} ((x + 5) ((x + 4) (x - 5))) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{2} - 100 + \frac{2}{x + 5} ((x + 5) ((x + 4) (x - 5))) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{2} - 100 + 2 ((x + 4) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.8

وسّع $(x + 4) (x - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x^{2} - 100 + 2 (x (x - 5) + 4 (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x^{2} - 100 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x^{2} - 100 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.9

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.9.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.9.1.2

انقُل $- 5$ إلى يسار $x$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} - 5 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 5) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.9.1.3

اضرب $4$ في $- 5$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} - 5 x + 4 x - 20) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.9.2

أضف $- 5 x$ و $4 x$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} - x - 20) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.10

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x^{2} - 100 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 20 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 20 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.1.11.2

اضرب $2$ في $- 20$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 x^{2} - 2 x - 40 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $4 x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 100 - 2 x - 40 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $40$ من $- 100$ .

$6 x^{2} - 2 x - 140 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $(x + 4) (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أخرِج العامل $(x + 4) (x - 5)$ من $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$6 x^{2} - 2 x - 140 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x - 5) (x + 5))$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 x^{2} - 2 x - 140 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x - 5) (x + 5))$

خطوة 2.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 x^{2} - 2 x - 140 = 18 (x + 5)$

خطوة 2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x^{2} - 2 x - 140 = 18 x + 18 \cdot 5$

خطوة 2.3.3

اضرب $18$ في $5$ .

$6 x^{2} - 2 x - 140 = 18 x + 90$

خطوة 3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اطرح $18 x$ من كلا المتعادلين.

$6 x^{2} - 2 x - 140 - 18 x = 90$

خطوة 3.1.2

اطرح $18 x$ من $- 2 x$ .

$6 x^{2} - 20 x - 140 = 90$

خطوة 3.2

اطرح $90$ من كلا المتعادلين.

$6 x^{2} - 20 x - 140 - 90 = 0$

خطوة 3.3

اطرح $90$ من $- 140$ .

$6 x^{2} - 20 x - 230 = 0$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2} - 20 x - 230$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 20 x - 230 = 0$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 20 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) - 230 = 0$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $- 230$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- 115) = 0$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 115) = 0$

خطوة 3.4.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 115)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x - 115) = 0$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $2 (3 x^{2} - 10 x - 115) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $2 (3 x^{2} - 10 x - 115) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 115)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 115)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $3 x^{2} - 10 x - 115$ على $1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 115 = \frac{0}{2}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$3 x^{2} - 10 x - 115 = 0$

خطوة 3.6

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.7

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = - 10$ و $c = - 115$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 115)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

ارفع $- 10$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 115}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot - 115$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 115}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.2.2

اضرب $- 12$ في $- 115$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 1380}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.3

أضف $100$ و $1380$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{1480}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.4

أعِد كتابة $1480$ بالصيغة $2^{2} \cdot 370$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $1480$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (370)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 370}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{370}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{370}}{6}$

خطوة 3.8.3

بسّط $\frac{10 \pm 2 \sqrt{370}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{370}}{3}$

خطوة 3.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{5 + \sqrt{370}}{3}, \frac{5 - \sqrt{370}}{3}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{5 + \sqrt{370}}{3}, \frac{5 - \sqrt{370}}{3}$

الصيغة العشرية:

$x = 8.07846135 \dots, - 4.74512802 \dots$